从Bloch球面理解自旋1/2，以及对自旋1/2的旋转操作（发于繁星客栈）

一个qubit的状态可以表达为Bloch球面上一个点。不失一般性，可以选择方向上的本征态将整个Bloch球面上所有的态表达为二者的叠加：，由于全局相位不可观察，所以全局相位角就没有被表达在Bloch球面上。

（注意，这个中的因子并不神秘，因为是Bloch球面上一点在球坐标中的天顶角，该点对应的量子态在两个分量上的归一化系数的绝对值必须是和，这一点在Bloch球面上稍加分析就可知道。）

旋转算子相当于将整个Bloch球面绕轴旋转角。简化问题并且不失一般性，我们考虑z表象下绕z轴的旋转算子：。这里面的因子看上去有些诡异，也正是因为这个因子导致了『转两圈才还原』这种事情。

但事实上这并不奇怪，显然，这个矩阵将的相位反向转动了，而将的相位正向转动了。这样，二者的相位差就会增大，在Bloch球面上对应的点刚好是所对应的点绕z轴正向旋转的点。也就是说，旋转操作的作用表现在Bloch球面上，就是对Bloch球面的普通旋转操作，没有任何神秘之处。

但『转两圈才还原』到底是怎么回事呢？因为这里还有一个被抛弃的全局相因子，这个相因子由于对单个qubit是不可观察的，所以在Bloch球面上就被扔掉了。

当我们实施旋转操作的时候，全局相因子转动了，只有转动两整圈的时候，全局相因子才转动了一整圈。对于单个qubit，这个全局相因子是完全不可观察的，因此对于单个qubit，我们根本不必关心『转两圈才还原』这回事，无论是把粒子旋转一圈还是把仪器旋转一圈，都不会发现任何可观察的差别。

但是，对于多个自旋1/2的粒子构成的体系，我们只对其中一个进行旋转操作，那么这种操作就会引起不同粒子之间的相位差的变化，这时候『转两圈才还原』这种事情才能出现可观察的效应。

以前我看Feynman或者Dirac所演示的那种『转两圈才还原』的演示实验，觉得非常不理解，因为所有这些演示都要把被旋转的东西连接到一个固定的东西上，而我们通常的旋转没有必要这样做。但现在想想这些演示是恰当的。因为如果仅仅是一个单一的qubit，旋转操作跟普通的旋转没有差别。只有当一个qubit跟某些作为背景的系统关联的时候，转动操作才会引发qubit相对于背景系统的相位差的变化，因此他们的演示应该说是非常恰当的。