关于逻辑中的蕴含关系
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30793- 另一个迷思， 请教
作者：uncutstone
时间：2004-12-28 19:04
有两个真值函数 p , q.
如果 p->q 取真值， 不表示p 是 q 的原因。
p->q 永取真值， 也不表示p 是 q 的原因。
p=>q, 也不表示 p 是q 的 原因。
-> 表示逻辑连接词 if ..then ..
=>表示逻辑推论
举一个例： 1+1 =2 => 饭可以吃。 谁也不是谁的原因。
还是感觉违反直觉。按照通常的理解， p=>q, 那么p 是q的一个原因。
愚钝啊。 :-(
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30876-高兴 我尝试解释一下：
作者：荒唐
时间：2004-12-29 21:32
我怕我们使用的符号不一致，
所以先说一下命题逻辑的符号约定：
非：~
与：& a&b严格等价于~(a->~b)、~(~a|~b)
或：| a|b严格等价于~a->b、~(~a&~b)
蕴含：-> a->b严格等价于~a|b、~(a&~b)、(a<->b)|b
等价：<-> a<->b严格等价于(a&b) | (~a|~b)
约定从上到下运算优先级从高到低。
只要有~运算外加&、|、->三者之一，就可以推出其余逻辑运算符
上面这些命题逻辑的符号，包括->，都是一种运算符号，他们的左项和右项无需有任何关系。
a->b的含义是，只要不是a真b假，a->b的值就是真，并非a能推导出b或者a是b的前提。把->当作if...then...实际上很容易引起误解。
所以“1+1=2 -> 饭可以吃”这个公式并非表示前者是后者的前提，仅仅表示如果前者是“1+1=2”后者是“饭可以吃”就可以让这个公式取“真”值。仅此而已。
你所提到的符号=>，含义应该是下面两个符号之一（我的书里面大部分使用下面这两种符号）：
逻辑后承：|=
逻辑推论：|-（也就是推出）
这两个符号定义不同，但命题逻辑的完备性定理证明了这两个符号是等价的。
一个命题是一组命题的逻辑后承（|=）表示如果该组命题为真，那么该命题就必为真。
而一个命题是一组命题的逻辑推论（|-）表示这组命题按照直接推导规则能够在有限步骤内得到该命题。
命题逻辑所定义直接推导规则只有一个：a, (a->b) |- b
（一阶逻辑增加一条基本推导规则：A |- (for all x)A。）
此时a & (a->b)确实可以作为b成立的前提条件，b确实可以看做是他们的逻辑结论。而如果写“1+1=2 |- 饭可以吃”是错误的，没有这样的推导规则。这样写才是正确的：“(1+1=2 -> 饭可以吃), (1+1=2) |- (饭可以吃)”
意思是说，只要你规定了“如果1+1=2为真，那么饭可以吃就必为真”这件事情是必然的，那么此时只要“1+1=2”也确实为真，就一定可以逻辑第推断出“饭可以吃”这个逻辑结论。
这个逻辑推论的真实性是并非直接是因为“1+1=2”，而是基于上面的两个前提的真实性。上面的真实性是你规定出来的，并非逻辑系统能够判断出来的。
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30892- 这里有点误解， 我解释一下
作者：uncutstone
时间：2004-12-30 09:58
我写的 ‘1+1=2’ 和 “饭可以吃”， 意思是这两个命题分别都是永真命题。
所以命题 ‘1+1=2’ ->“饭可以吃”， 也是永真的。
那么根据 ‘|-’ 的定义， 如果p-> q 永真，有 p |- q.
所以我有 ‘1+1=2’ |- “饭可以吃”。 也就是说， 如果任意两个命题 A , B 永真， 就会有 A |- B, B |-A. 一个永真命题可以推导出任何一个永真命题。
我的理解， 一个永真的蕴涵就是一个逻辑推论。这个地方有一点自相似性， 容易让人糊涂。
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30923-哈哈 嘿嘿，你对永真的理解错了啦……
作者：荒唐
时间：2004-12-30 13:51
形式逻辑中的永真式（重言式）是指逻辑系统内部的公式，永真式中任何一个项无论取什么样的值，式子本身都保持真。
例如A<->A、A|~A、~(A&~A)这些都是永真式。
而“米饭能吃”核“1+1=2”这两个命题在逻辑系统内部根本是不可能判断真假的，所以它们根本不是（逻辑系统的）永真式。
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33050- “蕴含”可以理解成“如果…那么…”
作者：荒唐
时间：2005-01-25 16:30
日常生活中的“如果…那么…”在“如果”不成立的时候没什么用处，但在逻辑运算中，“如果”不成立也有真值，其真值为“假”。
“推出”（|-）也可以看作是“如果…那么…”，但“推出”这个东西不是用来参与逻辑运算的。
推导规则就是把“|-”和“->”二者联系起来的东西。
推导规则是说，如果“如果A那么B”为真，同时“A”也为真，那么我们可以“推出”一个逻辑结论：“B”为真。
你只需把逻辑公式当做有真假的判断句，由逻辑运算符连接起来的句子也是有真假的逻辑公式，“->”理解为“如果……那么……”并且即使句子错误的也可以利用这个句子的“假”值。
推出“|-”除了它不用来表示逻辑运算，而是用于逻辑推导过程之外，跟“->”没有什么区别就行了。因为如果再使用“->”表示推出，那么推导过程就被这个东西连接成了一个整个的逻辑表达式了，为了避免这种情况出现，就制造了一个专门用于表示推出的符号“|-”。
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32610- 逻辑推导规则并不需要真值表才能定义。
作者：荒唐
时间：2005-01-19 15:20javascript:void(0)
“->”仅仅是“蕴含”这个“逻辑运算”的符号，并不表示“推出”
命题逻辑只有一条基本推导规则（其它规则可以导出）：
A, A->B |- B
意思是说，只要有A和A->B二者成立，那么可以推导出B。
一阶逻辑增加一条基本推导规则：
A |- (for all x)A
