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（三思-冷饭）
这个定理说，两个面积相同的简单多边形A和B，A一定能切割成有限多块再拼起来成B.
证明很简单：
1)简单多边形都能切开成三角形。
2)而任意三角形都能切开拼成矩形（先沿两边中点切开，再把上面的小三角形沿顶角垂线剖开得到两块和下面的梯形一拼就成矩形了）。
3)两个面积相同的矩形，一个切开可以拼成另一个（这个难点，不具体说了，要斜着切）。
4)于是我们可以把两个多边形都分别先切成三角形，再切成各个矩形，然后统一矩形的宽度，于是拼成一个长矩形，因为原先的两个多边形面积一样，这样的两个长多边形必定相同，于是得证。
我原来只是猜测可能有些物种的颜色感受细胞的种类比人多，但我不懂生物学。没想到原来是鸟类。是不是鸟类所拥有的强大颜色分辨能力的代价是大部分鸟类都变成了夜盲呢？
要是长一对彩色全息眼，能够辨别频谱和相位，那么用不着几何光学成像系统也有可能可以建立立体视觉了，就像蝙蝠的耳朵对声音的辨别能力一样。不过这种东西可是说起来容易，貌似人类到现在也仍然不能在全光学波段做出具有这种能力的设备。不知道现在所谓的彩色全息技术是否能够在整个光学波段同时做到。
以下转自三思科学－解惑：猫眼看世界
……
猫的色觉常为人们所忽略，以为它们生活在黑白世界里。的确，猫无法像人类那样分辨丰富的色彩——人类视网膜拥有红、绿、蓝三种视锥细胞，正是这些基本的“三原色视觉细胞”赋予动物感知色彩世界的能力，但是，猫的视锥细胞只有绿色和蓝色两种。这样，猫只能分辨有限的颜色，例如灰色和绿色、蓝色、黄色。但是这不妨碍它们生活得有滋有味，要知道，大多数哺乳动物都只拥有两种视锥细胞。扯一点题外话，人类感知的色彩也是不够充分的——如果跟鸟类比的话。鸟类有四种视锥细胞，额外的一种能感知紫外线，这让它们的世界远比人类的来得斑斓。你能想象那是多么奇丽的世界吗，就像我们很难想象四维空间一样。
猫色彩感的牺牲换取的是它超级强大的夜视能力。在黑暗中，视锥细胞就开始罢工，这个时候，视网膜中的视杆细胞就上场，这种细胞无法感知色彩，因而在黑夜里我们看到的东西都是黑白的。猫的视杆：视锥细胞的比例是25：1，而人类只有4：1，因而当切换到黑夜，猫就变得比人类更为灵敏，而且它的瞳孔在昏暗中可扩大至眼球表面的90％，微弱的光亮就足够它们觅取猎物。
……
关于鸟类的视觉，可参考：
《环球科学》06年8月号: 鸟眼看世界：更缤纷的色彩
《新发现》 创刊号（05年9月）：鸟眼看世界大不同
在数学上，对于无规则的形式系统，任何模型都可以满足。规则越多，满足规则的模型就越少。而自相矛盾的规则，则没有模型能够满足。
这样说来：无规则<==>一切皆有逻辑上的可能
我以前有过这样一个想法：无规则，蕴含了全部逻辑上可能（不是概率上的可能）的系统，所有这些系统，都可以看作是一个宇宙。全部逻辑上允许的系统构成了一个不属于任何其它类的真类（如果你不知道什么是类，就把它当作集合好了，但是这个集合是特殊的，不能作为任何其它集合的子集）。我们的宇宙只是属于该真类的一个元素。简单到诸如Peano公里系统这样的东西，也可以算是一个宇宙，只不过这个宇宙相对我们的宇宙来说比较单调，但毕竟还是拥有无限元素的，如果是有限群或者有限域就更小了。这些系统之间并不是孤立的，它们之间由各种各样的数学关系所关联。例如有些系统是另外一些系统的子系统，例如群和子群，空间和子空间。某些系统的各个子系统之间甚至可以定义位置关系，但还有更多系统之间连位置关系都不存在。
后来我在《终极理论之梦》中看到这样一段：
“在诺兹克（Robert Nozick）所谓的多生（fecundity）原理中也许能找到解释。那个原理说：逻辑上能接受的所有宇宙在某种意义上都是存在的，每个宇宙有自己的一套基本定律。多生原理本身没有任何解释，但它至少具有一定的令人满意的和谐性；正如诺兹克讲的，多生原理说明了“所有可能的都是现实的，而他本身也是那些可能性中的一种”。”
这个跟我的想法差不多。不过对我来说这是纯粹的数学存在性。
对于物理上所研究的宇宙，我们可以做这样的一个闭包定义：
1.我自身作为一个对象，属于这个宇宙。
2.任何一个对象，如果与属于这个宇宙的对象之间存在信息交换，那么该对象也属于这个宇宙。
这样就递归定义了一个对信息交换完全封闭的结构。我们的物理学就建立在对这个结构的研究上。至于这个定义中的“我”实际上是无关紧要的，这只是个起点，为了定义这个宇宙，这个起点可以从任何一个跟“我”有直接或者间接联系的东西开始，最终的闭包都会包含相同的内容。
在这样的递归定义下，该“宇宙闭包”中，“造物主”对我们来说是没有·实际·意义的，即便它确实创造了我们的宇宙。因为如果造物主跟我们的“宇宙”之间存在信息交换（也就是说，他会干涉我们的宇宙），那么就破坏了我们这个物理宇宙的封闭性，按照前面的定义，这个造物主就被自然加入到这个“宇宙闭包”之内。
对于这样一个宇宙闭包，无论是否由一个外部的造物主所创造，我们都无从知道。因此询问该“宇宙闭包”是否由造物主创造是没有意义的，因为不可能得到任何与此相关的信息。
[以下部分需要读者对量子退相干解释有所了解，其中包括了我的许多不可靠推测，仅供参考：]
即使接受量子退相干（quantum decoherence）的解释，为了满足好事者的好奇心，还需要说明那只处于叠加态的宏观的Schrödinger猫被身上到底会发生什么，因为如果把对微观系统计算结果直接套在这只宏观的猫身上，其结果过于荒谬以至于根本无法接受。
首先必须强调，切断一个宏观物体跟环境的一切联系，这在技术上可能是永远做不到的，这种尝试说不定会遭遇到物理上的极限。但为了讨论问题，我们不妨假定我们能够做到（嘿嘿，说不定需要动用一些在我们现在看来极其恐怖的技术手段，例如某些需要动用一个恒星的全部能量的技术手段。俺根本不知道咋样才能做到，见笑了）。深入一点分析，我非常怀疑，如果我们真的能切断猫盒和整个宇宙其他部分的一切联系，即便没有那个残忍的杀猫装置，猫还能存活多长时间。我倾向于认为生命现象对所依赖的物理规律是相当敏感的，一旦生命跟宏观环境之间极其频繁的相互作用被切断，构成我们的身体的粒子由外接环境引起的退相干就会消失（注意，退相干并不是孤立系统自发发生的过程，量子力学并不允许这种过程。因此提到退相干的时候实际上总是要有一个参照物，例如我们的身体对于环境发生退相干），生命所依赖的分子原子层次的统计物理规律就会因此发生变化，可能会直接损害脆弱的生命现象。也就是说一旦我们成功隔离了猫盒，这种隔离就让猫盒的量子态的演化过程跟宇宙的其它部分不再相关，猫盒的量子态开始作为一个小系统按照量子力学规律独立演化，不再象隔离之前那样跟随周围巨大的环境系统共同按照量子力学规律演化。这种变化的结果我猜测几乎一定会让猫根本无法生存。如果我们真的能隔离猫盒，这只猫可能在隔离过程中就会死亡，甚至隔离这只猫的装置和附近的一些东西都会在隔离过程中由于被切断了跟猫盒这样一个宏观系统的全部联系而遭到破坏（后面很快就会再次提到这一点）。彻底隔离了猫盒之后，这只猫就已经死了。在我们重新开始观测这个猫盒的时候，在我们的观测手段所确定的表象下，这只（死）猫确实应该处于某种叠加态，在打开猫盒的过程中，由于猫盒是一个宏观物体，退相干的过程很可能会带来非常恐怖的物理效应，说不定会再次破坏周围的仪器，对盒子内部的环境也会再次造成严重的破坏。在经历了这些过程之后，我们将会发现量子力学的基本规律再次得到验证，但我们不可能得到活猫，甚至连猫的死尸都可能得不到。
把一只宏观的猫盒和宇宙环境彻底隔离开可能带来什么样的物理效应呢，说不定会是这样：隔离之后猫盒之中的物质由于缺乏外界大环境的频繁相互作用，开始发生某种可以被称为“量子变质”的反应，例如在盒子中出现了一些类似于超流或超导之类的奇特现象（当然应该不会是超流或超导，具体是什么我们现在还算不出来），导致猫被这种发生了“量子变质”的奇特物质所杀死（这是我胡猜的，实在猜不出这种情况下到底会发生些什么鸟事，见笑）。
如果上述这些启发式分析侥幸没有原则性的错误，那么Schrödinger猫实验的真实结果很可能是猫被隔离之后确实进入了某种叠加态，但在隔离完成之时，猫就死掉了。即便没有杀猫装置，死掉的猫也一样处于某种量子叠加态。实际上猫的量子态就是个普通的纯量子态，由于接下来我们将通过一种特定的方法观测这个系统，而观测手段将确定一组本征态，在这组本征态下，我们称猫的量子态就是这些本征态的叠加态。杀猫装置的存在并不会使这个系统的量子态出现什么本质的不同，只不过是个摆设。这种情况下一只死猫（甚至可能死得很难看，身上一个没有完全被毁的零件都没留下）也就谈不上什么意识了，它自然也就不会因为生死叠加而变得稀里糊涂。彻底隔离这样一个盒子可能会需要付出巨大的代价（例如前面提到的需要用掉一颗恒星的全部能量的技术手段，见笑），而观察这样一个盒子，宏观物体恐怖的退相干过程可能会造成许多很奇妙的物理效应（例如发生一次规模巨大的爆炸，再次见笑）。
不过所有这些启发式的思考都开始超出了我思考能力和知识范围的极限，实在无法进一步海阔天空地胡侃了。
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有一点必须说明，量子力学的退相干解释实际上恢复了物理学决定论的世界观。如果退相干解释被彻底证实，那么在这个意义上Einstein胜利了。Bell不等式的失利实际上意味着爱因斯坦对于局域性的理解有错误，在EPR悖论这个问题上Bohr胜利了。
热二事实上并没有造成时间在过去和未来两个方向上的本质差异。为了说明这一点，我们用重力的方向作一个形象的类比：
想象一下，你生活在地球上，一开始你通过大量的实验发现物体的重力总是指向人类方向感觉中的“下方”，开始你觉得百思不得其解，干脆把这个作为一条定律：“重力总是向下”，至于为什么“上和下”之间有这么明显的区别，你不知道。这个定律经历千百年的考验，丝毫都没有发现任何问题。后来你发现地球是圆的，实际上各个地方的重力的方向并不是同一个方向，因此这个“下”就不再具有普遍性。你还会发现，我们之所以感觉到“上和下”不一样，恰恰就是因为重力作用在我们的身体上，因此才让我们感觉到“上和下”的区别。这样事情就明白了，“重力总是向下”是因为我们感觉到的下方就是重力的方向。而实际上空间本身并不存在“上和下”的差别，“下”也不再是一个固定的方向，这取决地心相对于你的方向。后来你终于发现了万有引力定律。在这个新的重力理论中，“重力总是向下”变成了一个推论，沿着重力给你造成的方向感去测量重力的方向，当然只能得出“重力总是向下”这个结论。这个结论即便在正在加速运动的宇宙飞船内部，还是在火星上，都仍然成立，但“下”这个方向原来所拥有的绝对意义从此就彻底消失了。
你不妨回忆一下你小时候第一次听说大地是圆球形的时候有多么的吃惊吧。反正我当时觉得这件事情是很古怪很不自然的，过了好一段时间才逐渐消化。回忆回忆这件事情，你就能明白为什么当你听说热二所确立的时间箭头没有什么特殊的时候为什么会这样吃惊了。
熵增也重力向下一样，我们原来不知道为什么熵总是随着时间的前进而增加，干脆就把它当作一个定律了。有了统计物理学和对生命过程和思维过程中熵变的研究，现在我们知道了，正是因为热二支配了我们的生命和意识，热二让我们能够区分过去和未来，因此我们所感受到的时间前进的方向实际上就是熵增加的方向。沿着这个方向去看熵，熵自然总是（极高概率地）随着时间的前进在增加。也正因为如此，那些熵增的过程例如鸡蛋掉在地上摔碎就显得非常平凡，而自组织这种局部的熵减现象就令人感到惊奇，直到我们弄明白这些熵减现象是熵增定律的局部效果。统计物理学当中，熵增成为从等几率假设附加上非平衡的初始条件所导出的一个定理，而不再是基本定律。熵增并不是因为基本物理规律对于时间的非对称性，也不意味着对应熵增的时间方向有什么特殊性。虽然熵增定律仍然在各种情况下适用，但是熵增所确定的时间箭头原来的绝对意义从此就彻底消失了。
从宏观孤立系统的微观状态的相空间观点来看，热平衡这个宏观状态粗粒所占据的相空间体积是极其巨大的，仅仅这一个宏观状态粗粒就几乎占据了整个相空间的全部，剩下一点点地方让其它非热平衡的宏观状态占据，每当宏观状态的熵减小那么一丁点，那么该宏观状态在相空间对应的那个粗粒的体积就减小若干个数量级。宇宙现在所处的状态，在相空间中一定是某个极其微小的粗粒。正因为宇宙现在刚好处于一个极其微小的粗粒内部，随便往那个方向随机游动都会以极高的概率溜达到周围更大的粗粒当中，再往外还有比这还大的粗粒……你可能会质疑说宇宙处于这个地方的可能性实在太小，因此严重怀疑这种说法。但是，虽然这个粗粒很小，却仍然存在穿越这个粗粒的相轨道，在宇宙的状态穿越这个粗粒的时候，所处状态自然是远离热平衡的。这种事情可以称之为后验概率、回归分析、待定参数、人择原理（我讨厌“人择原理”这个名字，应该使用“实择原理”才更准确）什么的。
你可能会问，如果事情真的象你说的这么简单，那么为什么还会困扰那么多物理学家？实际上现代物理学家自从弄明白时间方向的心理感受的来源之后，并没有在这件事情上发生多少分歧（不排除某些从来没有深入思考过这个问题的物理学家在这个问题上会犯错误，因为许多前沿的研究并不需要把这些问题都弄清楚）。许多分歧在于是否在基本规律上时间对称性是否存在根本性的破坏。但必须注意这件事情：即便在基本物理规律上时间的对称性上确实存在着根本性的破坏，也并不影响我们前面的讨论。熵增所确定的时间箭头与此无关。
[以下部分包括我的不可靠推测，仅供参考：]
你可能会问我为什么宇宙的粗粒会按照这种特殊的方式被划分，而不是按照任何其它的方式？毕竟给微观状态的相空间的相点进行划分的不同方法数量极其巨大，对于有限集，所有不同的划分方法是Bell数，随着集合元素个数增长得比指数函数还快。这个问题对我来说跟前面的例子一样明显：人类对宇宙的宏观观测手段决定了人类对宇宙相空间粗粒的划分方式。例如，我们往往使用PVT等参数（当然可能不仅仅是PVT，但我们暂且以PVT为宏观参数的代表）来描述热力学系统宏观状态。那么如果把这个热力学系统孤立起来，该系统每一组不完全相同的PVT的值，都在该系统的相空间中占据不同的粗粒，所有不全相同的PVT值就确定了对该系统微观状态相空间的一个具体的“划分”。但为什么我们会采用PVT等宏观参数来描述热力学的状态呢？就是因为与这些物理量相关的宏观物理规律支配了我们自身和我们所赖以生存的环境。这样，就又回到了原来的那个问题：这种划分方式之所以看上去与其它的划分方式不同（跟其它划分方式之间的对称性被破坏），是因为我们自己就是被这种划分方式所确定的宏观物理量所遵守的宏观物理量规律支配的，我们利用这种划分方式所确定的宏观物理量去测量宇宙的宏观状态，自然就会对宇宙的相空间做出这种方式的划分。因此，这种划分方式本身实际上没有什么特殊的，上帝可以采用任何他喜欢的划分宇宙相空间粗粒的方式，只要划分的方式是不均匀的，并且忽略掉宇宙的具体微观状态，那么上帝都会得到类似于热二这样的统计成立的物理规律，越大颗的粗粒，宇宙的状态就越有可能不小心溜达进去。
[以下部分是科幻：]
但是，是否可能存在着这样的生命呢：支配这些生命的宏观物理规律跟我们是截然不同的（但基础物理规律却完全相同，只不过宏观规律是以跟我们不同方式涌现出来的），对它们来说重要的宏观物理参数跟我们也不同。对于它们来说宏观上不可区分的宏观状态，在我们看来是可能在宏观上进行区别的，而对我们来说宏观上不可区分的宏观状态，在它们看来也是可能在宏观上进行区别的。这种生命对宇宙相空间的划分方式跟我们就截然不同，甚至宇宙现在的状态对于这种生命来说处于它们所认为的热平衡状态的粗粒之中，而这种生命能够生存的状态在相空间中的位置对于我们来说恰恰也是热平衡状态粗粒之中。这种情况下我们和它们之间甚至是不可能见面的。对于这种可能性是否存在我完全回答不了。说不定由于这个宇宙的基本物理规律本身的特殊性，所有可能形成的生命形式都受类似于我们所见到的宏观物理规律所支配，结果导致所有可能的生命形式都会对宇宙的相空间做相同或者极相似的划分，那么那种古怪的生命就不存在了。但谁知道实际情况到会怎样呢，至少目前对我来说还难说。
还原论（reductionism）和整体论（holism）本身并不矛盾，但经常被滥用。滥用的结果就成了极端还原论（greedy reductionism）和神秘主义整体论（mystic holism）。科学的还原论和科学的整体论之间实际上毫无矛盾。首先，复杂系统涌的任何高层规律一定能够在复杂系统所基于的低层规律上被完全表示，这是还原论的观点。其次，复杂系统所涌现出来的高层规律无法在低层规律上去理解，而且独立于低层的具体表示，这是整体论的观点。但是，一个特定复杂系统所涌现出来的高层规律再神奇，再独立于底层规律，都必须能够被该系统所基于的底层规律所表示；凡是不能被底层规律所表示的高层规律，无论如何都是涌现不出来的。科学的还原论和科学的整体论在这一点上从来都是斩钉截铁的。
复印机不识字，但是却可以复制打印在纸上的文章，因为文章已经被·表示·为纸上的一大堆墨点，这些墨点是能够被复印机所“理解”的，这时候我们说这篇文章被还原为一堆墨点。但是一篇文章不但可以被打印到纸上，还可以被存贮在磁盘上，被朗诵，被翻译成外文……这些都是文章的不同表示方式，但该文章的所有这些表示方式，都蕴含着相同的意义，这时候我们说这篇文章的整体意义独立于文章的表示方式，并且这个意义不能在文章表示的层次上去理解。这就是科学的还原论和科学的整体论。科学从不承认涌现（emergence）是不可解释的神秘现象。例如，普通的黑色油墨和白色纸张自身的特性限制了这种印刷品所展示的只能是黑白图像，绝不可能由于某种神秘的原因而“涌现”出彩色图像。
一个圆的总曲率（曲率对弧长的围线积分）等于2π，2π是这个圆的整体性质，该性质完全被构成圆的各段圆弧的曲率和圆弧之间的连接方式所确定。但是总曲率2π这个性质却并不是圆所独有的性质，所有简单的闭曲线全部具有这个性质，无论这个简单闭曲线拐了多少个弯。
[以下摘自：第一推动丛书第三辑：史蒂芬·温伯格《终极理论之梦》P169。原书：Steven Weinberg, "Dreams of a Final Theory"P211]
终极理论也许远在几个世纪以外，也许完全不同于我们今天想象的任何东西。不过，我们姑且假定它就在某个角落，那么，根据已经知道的东西，我们关于那个理论能猜想些什么呢？
在我看来，今天的物理学中能够不变地在终极理论中保留下来的部分是量子力学。这不仅因为量子力学是我们今天关于物质和力的一切知识的基础，经过了非常严格的实验检验；更重要的是，没有人能想出什么办法来改变量子力学，使它能以任何方式保留那些成功而不带来逻辑的荒谬。[荒唐－－我也觉得量子力学精美绝伦。但现状似乎是如果放弃量子力学，那么我们在物理学上的知识基本上就全军覆没，包括那些最前卫的理论。即便在那个“终极理论”中连量子力学也需要彻底修改，可能也根本没人知道应该怎么办。不过我不反对赌赌运气。Penrose对量子力学的不可动摇的根本地位持怀疑态度，但是怀疑归怀疑，除非有充分的理由逼我们寻找量子力学替代品，否则不妨继续赌下去。补充一下，我对作者对于“终极理论”的态度并不赞同。]
虽然量子力学为一切自然现象提供了表现的舞台，但它本身却是一个空空的架子。量子力学使我们能想象大量不同的可能的物理学系统：由通过任何形式的力发生相互作用的任何粒子组成的系统，甚至还有任何根本不是由粒子组成的系统。近百年的物理学历史已经证明了是逐步认识对称性的历史，是对称性原理导演了我们在量子力学舞台上看到的形形色色的戏剧。我们今天关于弱力、电磁力和强力的标准模型所一来的也是对称性：狭义相对论的时空对称性，它要求标准模型应该建成一个场的理论；还有一些内在是对称性，它们决定了电磁场和承载标准模型的力的其它场的存在。引力也可以在对称性的原理的基础上来认识，那是爱因斯坦广义相对论中的对称性，它决定了无论我们描写时间和空间位置的方式如何变化，自然定律都不会改变。
根据一个世纪的经历，大家都相信最后的理论应该建立在对称性原理的基础上。我们期待着这些对称性能把引力与标准模型的弱力、电磁力和强力统一起来。但是几十年来我们仍然不知道那是什么样的一些对称性，而且我们也没有一个能在数学上满意的包括了广义相对论基本对称性的引力的量子理论。
现在的情况大概有些不同了。近十年来，一个关于引力甚至也许包罗万象的崭新的量子理论框架已经发展起来了－－那就是弦理论。弦理论为我们推出了第一个可能的终极理论的候选者。
……（跳到下一章→P184中译|P230原版）
很难想象我们能拥有一个不需要任何更深层的原理来解释的终极物理学原理。许多人想当然地认为，我们将得到一个无穷的原理链，每个原理后面都跟着更深的原理。例如，现代的科学哲学大家波普尔（Karl Popper）就拒绝“终极解释的思想”。他坚持“每一个解释都能通过普适性更高的理论或猜想得到进一步的解释，不可能有不需要解释的解释……”[荒唐－－我的想法是，我们并不知道这个链条是否无穷，也并不知道这条链条上更深层的理论是否一定会更简单。但是，即便我们已经找到了终极理论，我们也无法确认这一点。我们可能找到一个理论，这个理论把我们现在已知的所有理论全都统一了，没有任何例外，甚至可能今后永远都无法发现例外。但我们无法绝对确认这一点。因为是否还有更深层的规律，这些规律是否一定会被我们找到，这是由造物主或者这个宇宙本身说了算的，并不是由我们说了算的。波普尔不一定正确，他犯了把假设当作真理或者信仰的错误。但是作者对待终极理论的态度似乎也有类似的问题，只不过走到了另外一个极端。]
波普尔跟其它许多相信无限基本原理链的人可能最终是正确的，但我想这个观点不能从迄今还没有人发现一个终极理论的事实来讨论。那样的话，就像19世纪的探险家们说的，因为过去几百年的北极探险总是发现，不论他们深入北极多远，北方总还有更多的汪洋和冰雪，要么没有北极点，要么谁也没有到过那儿。但最后还是有人走来了。
似乎许多人都有那样的印象，过去的科学家常常自以为发现了终极理论。他们就像哪位想象自己在1908年到达了北极点的探险家柯克（Frederick Cook）。人们想象，科学家惯于精心构筑他们宣扬的所谓终极理论的蓝图，并顽固地捍卫它，直到如山的实验证据向新一代科学家们证明那些蓝图全都错了。但是，据我所知，本世纪还没有那个著名的物理学家宣布过已经发现了终极理论。不过，物理学家有时确实忘了达到理论的终点还需要走过漫漫长路
。回想一下迈克尔逊1902年的预言：“从众多表面相隔遥远的思想领域出发的路线汇聚到……一片共同的土地上来的日子看来不会太远了。”最近，霍金在接受剑桥大学的数学卢卡西讲座教授（牛顿和狄拉克坐过的席位）的就职演说里提出，那时正流行的“扩张的超引力”理论即将为某个终极理论提供基础。我怀疑霍金今天还会那样说。但是，不论迈克尔逊还是霍金，都没有说终极理论已经在手了。
……（跳过一段→P186中译|P232原版）
我们相信，由一个比一个更简单的基本理论构成的链条，既不会无限延伸，也不会有一个终点，但是这不太可能发生。剑桥的哲学家雷赫德（Michael Redhead）认为，那些链条有可能绕回去。他指出，正统的量子力学的哥本哈根解释需要一个观测者的宏观世界，需要测量仪器，而这些宏观的东西本身也需要量子力学来解释。这个观点在我看来又提供了一个例子，让我们看到，量子力学的哥本哈根解释和它对量子现象与研究那些现象的观测者的不同处理方式，都存在什么问题。在埃弗雷特等人最现实的量子力学方法里，只有一个包括实验和观测者在内的一切现象的波函数，而基本定律描述的是这个波函数的演化。[荒唐－－感觉这段话的逻辑有混乱。首先，更基本的理论未必更简单，没有任何理由让我们坚信这一点。其次，后面所举的用来说明链条构成回路的量子力学哥本哈根解释的例子似乎跟基本理论本身的层次无关，只不过说明了量子理论自身的自指特性。]
……（跳过几段→P188中译|P236原版）
尽管不难设想一个没有更深的原理来解释的终极理论，但是很难想象一个不需要那样的解释的终极理论。不管终极理论是什么，它在逻辑当然是不可避免的。即使最后证明终极理论是能用几个简单方程表达的弦理论，即使我们能够证明这是既能描写引力和其它力又没有数学矛盾的唯一可能的量子力学理论，我们还是要问，为什么会有引力那样的东西？为什么自然会服从量子力学的法则？为什么宇宙不喜欢跟着牛顿力学那飞旋不停的点粒子？为什么存在天下万物？雷赫德（Michael Redhead）不相信“在逻辑上自我辩护的科学基础的目标”，也许代表了多数人的观点。
另一方面，惠勒曾经说过，当我们走近终极理论时，我们会惊讶它们为什么不从一开始就显而易见呢？我想惠勒可能是对的，不过那只是因为我们发现那些定律显而易见的时候，已经历了几百年的科学失败和成功。即使这样，我想那个“为什么”的老问题，虽然形式上不那么强硬，仍然伴随着我们。哈佛的哲学家诺兹克（Robert Nozick）曾抓住这个问题，他建议我们不要在纯逻辑的基础上导出终极理论，而应该寻求使它比简单粗野的事实更令人满意的论证。
在我看来，沿着这样的路线，我们最好能希望证明终极理论尽管不是逻辑必然的，却是逻辑孤立的。就是说，也许到头来我们还是总可以想象跟真正的终极理论完全不同的其它理论（如牛顿力学统治的无聊的粒子世界），但是我们发现的终极理论却是非常刚强的，任何微小的修正都将带来逻辑的荒谬。在一个逻辑孤立的理论中，每一个自然常数都可以根据第一原理计算出来；任何常数值的微小改变都将破坏理论的和谐。终极理论就像一个精美的瓷器，要扭曲它就只能打碎它。在这种情形下，尽管我们可能还不知道为什么终极理论是对的，我们却可以在纯数学和逻辑的基础上知道那个理论为什么不是别的样子。
这不单是一种可能－－我们已经走在这条通往逻辑孤立的理论的路上了。已知的最基本的物理学原理是量子力学的法则，是我们所知的关于物质及其相互作用的其它一切事物的基础。量子力学不是逻辑必然的；它的前身牛顿力学似乎并没有什么在逻辑上不可能的东西。不过，物理学家却没能成功地找到改变量子力学法则的任何路线，哪怕微小的改变也会引出像负几率那样的逻辑灾难。
但是量子力学本身不是完备的物理学理论。它没有告诉我们任何关于可能存在的粒子和力的任何东西。翻开任何一本量子力学的教科书，我们能看到许多奇怪的假想粒子和力的例子，多数都不像我们真实世界里存在的东西，但它们都完全符合量子力学的原理，可以用来教会学生使用那些原理。如果我们只考虑与狭义相对论一致的量子力学理论，可能的理论就不会很多。多数理论都将因为产生无穷大的能量或者无穷大的反应率等无意义的东西而被逻辑排除出去。即使这样还会留下很多在逻辑上可能的理论，如关于强力的量子色动力学，除了夸克和胶子，它没有宇宙的其它东西。但是，如果我们坚持理论应该把引力包括进来，那么大多数那样的理论又将被排除了。也许我们可以在数学上证明这些要求只留下唯一一个逻辑可能的量子力学理论，也许那就是一个关于弦的理论。如果真是那样，虽然可能还有很多其它逻辑可能的终极理论，但是只有一个描写了与我们自己的世界相关的事物－－尽管那关系还有些遥远。
但是为什么终极理论应该描写与我们世界有关的东西呢？在诺兹克（Robert Nozick）所谓的多生（fecundity）原理中也许能找到解释。那个原理说：逻辑上能接受的所有宇宙在某种意义上都是存在的，每个宇宙有自己的一套基本定律。多生原理本身没有任何解释，但它至少具有一定的令人满意的和谐性；正如诺兹克讲的，多生原理说明了“所有可能的都是现实的，而他本身也是那些可能性中的一种”。[荒唐－－我也有类似于这种“多生”原理的想法，原来诺兹克已经提出过了。这种原理里面所提到的宇宙实际上比那个由真空涨落创生了无数个小宇宙（包括我们生存的宇宙）的“巨宇宙”更巨大，包括了一切数学上允许存在的合乎逻辑的构造。不过这里的表述的一个必须小心处理的地方是：“存在”的含义是什么，几乎可以肯定这不是通常意义上的“存在”。在这个原理之下，许多可能的宇宙之间，甚至连相对位置关系这种关系都无法谈论，只能谈论某些更加底层的数学关系。而在那个“巨宇宙”之中，它所创生的小宇宙至少我们还可以谈论它们在“巨宇宙”之中的相对位置关系的。另外，一个值得一提的地方是：“多生”原理所允许的一切宇宙所构成的“宇宙类”，它本身所遵循的“基本物理规律”是·空·！不会有比这个“宇宙类”所遵循的“空规律”更简单的基本物理规律了。我很清楚许多人会跳起来质疑这种想法有什么意义，我很愿意承认这个想法很可能甚至必然没有任何实践上的意义。但是这个想法很有趣，这就够了，有没有现实意义我并不关心，因为我本来就没有想要拿它去实践什么。如果这种想法能够对我们所思考的问题起到一点开拓思路的作用，就更谢天谢地了。]
如果真像这个原理说的，那么将存在一个我们自己的量子力学的世界，存在永不停息地飞旋的粒子的牛顿世界，存在没有任何东西的世界，也存在我们难以想象的数不清的其它世界。这不仅是说，从宇宙的一个地方到另一个地方，从一个阶段到另一个阶段，或者从一个波函数到另一个波函数，所谓的自然常数在发生改变；正如我们看到的，它还包括了一个真正的基本理论（如量子宇宙学）所有可能发生的情况，但是仍然留下一个问题：为什么基本理论是那样的？另一方面，多生原理则认为存在着完全不同的宇宙，遵从完全不同的定律。但是，假如别的宇宙完全无法接触，完全无法认识，那么关于它们存在的说法，除了避免为什么它们不存在的问题而外，似乎没有任何结果。问题在于，我们想从逻辑来谈论一个对逻辑论证没有真正意义的问题：什么是我们应该或不应该好奇的东西？
我们曾靠人择的理由帮助解释为什么我们宇宙的终极理论是那样的，多生原理从新的途径证明了它的作用。存在着许多可能的宇宙类型，它们的定律和历史使它们不利于智慧生命，但任何追问世界为什么那样的科学家却一定生活在别的某个宇宙中，那里是能够出现智慧生命的。这样，我们马上就可以排除牛顿物理学统治的宇宙（起码的一点，那样的世界里没有稳定的原子）或者什么也没有的宇宙。[荒唐－－我觉得人择原理这个名词本身很无聊，拿人类或者智慧生命来说明这个原理更加无聊。既然我们看到了现在这个宇宙的样子，那么我们所寻找的基本物理规律必须能够允许我们看到宇宙现在这个样子，否则这个规律即便成立至少也不是我们所处的这个宇宙的规律。“终极理论”，仅仅允许智慧生命存在是根本不足够的，还必须让我们看到我们所知道的任何一个观测事实。因此，与其说是人择，还不如说是事实对理论的约束，叫作“实择”才更准确。事实上，数学中已经有了与此对应的概念：条件概率、待定系数、回归分析，虽然都不是很贴切，但是“实择”至少比“人择”更精确一些。]
从极端说，可能只有唯一一个逻辑孤立的理论，没有待定的常数，相应于某种能为终极理论感到惊奇的智慧生命。假如能证明这一点，我们差不多就能如愿地解释为什么世界是那样的。[荒唐－－为什么我们希望一个理论中没有待定的常数？事实上，理论本身可能都可以看作是“泛函空间”中一套待定的方程，与此同时，常数的值本身也能够作为理论的一条基本原理。我觉得常数和方程之间的差别只是层次上的差别。]
[以下摘自：第一推动丛书第四辑：马丁·戴维斯《逻辑的引擎》P230。原书：Martin Davis, "Engines of Logic - Mathematicians and the Origin of the Computer"P207]
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罗杰·彭罗斯是一位杰出的数学家和数学物理学家，他在宇宙的几何结构方面做出了激动人心的工作。他也曾考虑过人类心灵的运作从本质上说是否是算法这个问题。彭罗斯援引歌德尔不完备性定理，明确地回答说：不是。以下是一种表述歌德尔定理的方式：
给定一种能够逐条获得关于自然数的真陈述的算法，那么我们总是能够得到另一条关于自然数的真陈述（我们称之为歌德尔句子），它是不能通过那种算法生成的。
彭罗斯论证说，没有一种声称等价于心灵活动的特殊算法能够满足需要，因为心灵总是有可能通过一种“洞察”活动而发现歌德尔句子对于该算法为真。这则论证是极端错误的，至于其原因，图灵早在1947年为伦敦数学会所做的演讲中就已经解释过了，那次演讲足足比彭罗斯所写的文章早了40年。图灵指出，歌德尔定理仅仅适用于那些只声称真陈述的算法，但没有一个数学家能够声称不会出错。我们都会犯错误！因此，歌德尔的定理并不阻止把人类心灵的数学能力等同于一种既能产生真陈述又能产生假陈述的算法过程。
赛尔和彭罗斯拒不承认人类的心灵就其本质而言等同于一台计算机。但他们两人都心照不宣地接受了这样一个前提，即无论人类的心灵可能是什么，他都是由大脑产生出来的，都服从物理化学定律。而库尔特·歌德尔则愿意相信，大脑实际上就是一台计算机，但他拒不接受并不存在超越大脑的心灵这种观点。事实上，古典的心－身问题是歌德尔所关注的问题的核心。他认为心灵以某种方式独立于我们作为物理实体的存在，他的这种立场通常被称为笛卡尔的二元论。
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首先，我们要区分物理学和哲学的宇宙的含义，以免引起混淆。
物理学家最近一个多世纪所提到的大爆炸宇宙并不是“其大无外”的，物理学家经常会自由地使用“我们的宇宙”和“另一个宇宙”这样的词汇，就说明了这一点。注意，这绝对不是说物理学家对这个宇宙的定义就有什么不好的，只不过这种定义和我们现在要讨论的问题无关。
但是什么是哲学意义上“其大无外”的宇宙呢？不严格的说，至少应该指一个对于信息交换完全封闭的区域。可以这样递归地定义一个其大无外的宇宙：
1.我自身作为一个对象，属于这个宇宙。
2.任何一个对象，如果与属于这个宇宙的对象之间存在信息交换，那么该对象也属于这个宇宙。
这个递归定义是由“信息交换”关系所构造的一个数学意义上的闭包，并不一定要求空间的尺寸上无限。我们从现在开始放弃“其大无外”这个说法，改用宇宙闭包，来进行讨论。
在这样的递归定义下，该“宇宙闭包”中，“造物主”是没有实际意义的。因为如果造物主跟我们的“宇宙”之间存在信息交换，那么就破坏了我们这个物理宇宙的封闭性，按照前面的定义，这个造物主就被自然加入到这个“宇宙闭包”之内。
对于这样一个宇宙闭包，无论是否由一个外部的造物主所创造，我们都无从知道。因此询问该“宇宙闭包”是否由造物主创造是没有意义的，因为不可能得到任何与此相关的信息。
许多人喜欢问一些“本质”的问题。例如什么是宇宙的本质，什么是质量的本质、什么是电荷的本质、什么是引力的本质……
但当你把物理学家所看到的东西告诉他们的时候，他们却认为你答非所问。因为你没有把这些东西的“本质”告诉他们。
为什么这些人会有这样的问题呢？我认为这个和人的生活经验有关。你在生活中，看到任何一个人造产品，例如手表、电脑、汽车……其中每一样你都可以询问其原理。而且，毫无疑问，这些东西的本质都是可以问的。你可以问这些东西的制造者，原则上你总是有办法弄清楚他们的本质。但这个想法用到宇宙上，就行不通了。
你本身是属于这个宇宙闭包的对象，你如果想要知道这个宇宙闭包的本质，你需要问这个宇宙闭包的创造者（如果有的话）。而这个创造者，如果不属于这个宇宙闭包，那么无法告诉你这个宇宙的本质是什么（请看前面宇宙闭包的递归定义）。如果这个创造者跳出来告诉你这个宇宙的本质是什么，那么这个创造者就不再权威，因为他本身不再位于宇宙闭包之外，此时他自身对他所处的这个宇宙的本质的回答，就不再有效。
如果你要了解一个东西的“本质”，你必须身在其外，并且询问另一个身在其外的创造者。但是对于宇宙，你做不到。
你有没有可能掌握到宇宙的本质呢？说不定可能，但你对此却永远无从判断。
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科学家创建各种关于这个宇宙的模型，所谓模型就是一些基本概念以及基本概念之间的关系。模型中任何一个概念在原则上都可以通过可操作性的步骤进行观察或测量。科学家可能会得到这个宇宙的终极模型，但是在逻辑上永远也无法知道这一点。
数学公理系统，其本身包括一些基本概念和关系，貌似不加定义，其实不然，实际上公理系统本身就是对这些基本概念的定义。但是与通常意义上的定义不同，每一条公理事相当于一个多元关系，描述了若干概念之间的关系。若干公理每一条都描述了若干概念之间的关系。事实上，后来的派生概念定义，也都是公理，因为这些定义由于包括了新概念，因此不能直接从原来的公理中导出。只不过派生的概念定义，往往是一条或者几条定义围绕着一个特定的派生概念，不像原有的基本公理，若干条规定同时围绕着若干个概念。
对于了解RSA算法并且也了解密码算法时间分析攻击的人，可以跳过A,B两部分。
A.先大致说一下RSA算法：
公开密钥(n,e)，私有密钥(n,d)
其中n = p*q，p,q是两个随机选择的巨型素数（必须保密），d,e满足d*e≡1 (mod(p-1)(q-1))
----====以下公式中，如果不加特殊说明，所有运算都是(mod n)的运算====----
于是根据Fermat小定理，x^(d*e) = x
假设明文为m，密文为c，那么
利用公钥(n,e)的加密过程：c = m^e
利用私钥(n,e)的解密过程：m = c^d = (m^e)^d = m^(e*d)，根据Fermat小定理，m^(e*d)刚好等于m。
当然，RSA算法真实实现比这要复杂很多，需要用到大素数的随机生成算法、强素数的生成算法、中国剩余定理、快速的模幂运算等，但这些对与我们要讨论的RSA blind没有什么关系，因此不再深入了。
B.再大致介绍一下时间分析攻击：
时间分析攻击，实际上是选择密文攻击的一种，利用了一种边带（side channel）信息的泄漏
B.1先说说选择密文攻击：
所谓选择密文攻击，是指攻击者能够获取解密服务，但不知道密钥的情况下，对系统进行的一种攻击。
例如，一个职员，在任职期间可以得到其主管机器的解密服务，因此可以阅读主管收到的加密邮件并且代主管回复邮件，但并不知道主管的密钥。但该职员离职之后，该解密服务随即停止。因此该职员不再能够继续阅读主管的邮件，因为他没有主管的密钥。如果该职员在任职期间，利用职务的便利，通过精心构造一批密文，并且使用主管机器提供的解密服务，根据这批密文的解密结果（注意，解密结果不一定仅仅包括明文信息，解密指定密文所消耗的时间，系统产生的热量，此类信息都术语解密结果信息）设法确定了主管的密钥，那么他就可以在离职之后继续读取主管的邮件。这个职员的攻击方法就被称作选择密文攻击。
稍微正式一点地描述选择密文攻击：攻击者精心设计一组密文ci，使用能够获取到的解密服务对密文ci进行解密，假设每个ci对应的解密结果所包含的信息是ri，那么我们就得到了这组ci和ri的之间的关系Rk:
ri = Rk(ci)。Rk与密钥k之间肯定是有关系的，通过这个Rk确定密钥k的过程就是选择密文攻击。
如果对于一个算法，Rk与k之间的关系并不复杂，有办法在可接受的时间内由Rk确定密钥k，那么就说这个算法对于选择密文攻击是脆弱的。
B.2再说说时间攻击：
所谓时间（分析）攻击，所利用的解密结果信息就是解密服务解密密文ci所用的时间ti。如果精心设计密文，获取了ci和ti的关系Tk:
ti = Tk(ci)，通过分析Tk和密钥k之间的关系来确定密钥的方法，就是所谓的时间分析攻击。
一个非密码学的时间分析攻击的例子：如果我要窃取你在键盘上输入的口令，我不一定非要看到敲击口令的过程，我只要在旁边听你相邻两次击键的时间间隔，就可以得到一些信息：间隔短的两次击键，很可能意味着两个键的距离比较近，间隔长的两次击键，很可能意味着两个键的距离比较远。如果我有机会尝试攻击你的口令，我可以仅仅尝试哪些在时间间隔模式上跟我窃听到的你的击键过程的时间间隔很相似的口令，这样我所需要进行尝试的数量就会远小于完全的暴力攻击。
对于RSA算法，数学上的攻击，至少在目前来说，没有已知的特别高效的攻击手段。但是，对于一个具体的RSA算法实现，只要我知道算法的具体代码，我就可以给出解密一个指定密文ci所需要的时间ti，与密钥每个bit的值之间的函数关系。这样我只要精心构造出一组密文ci，并测量时间ti，就可以把密钥的每个bit作为未知数，建立一组方程把每个密钥bit求出来。这个方程甚至很可能是线性的。
有人可能怀疑解密时间可能不能精确测量，那么这种攻击是否还能奏效呢？当然可以，首先，时间不精确可以重复多次地对同一个密文进行解密取平均值而得到。其次，即便测量不精确，不能唯一地确定密钥，至少也可以只试探那些最可能的密钥，大大缩小密钥搜索空间。
注意，这种攻击并不仅仅是理论上未来可能出现的攻击，有一些密码学家已经成功地利用此类攻击攻破了一些密码算法。
之所以这种攻击也属于边带信息或者带外信息泄漏的一种，就是因为这种攻击并非对RSA的数学结构进行攻击，而是对RSA具体实现过程中软硬件特性所泄漏的密钥信息进行攻击，而这些信息在RSA算法本身所建立的安全信道之外，是一种经常被"忽视"的信道。在此类信道上的信息泄漏，常常可以称为边带信息泄漏或者带外信息泄漏。
知道了时间分析攻击，能量分析攻击就简单了，就是通过测量密码系统在解密一个特定密文的时候的发热量，来猜测密钥信息的方法。由于发热量的测量相对于时间来说更加不准确，而且实际情况中常常难以对系统的能量进行测量，因此一般来说这种攻击比时间攻击更难实施，效率也更低，但一旦能够实施这种攻击，仍然比暴力搜索要快若干数量级（别忘了，系统发热量虽然不能准确测量，但我仍然可以对一个密文重复测量1000000次取平均）。
为了防范时间分析攻击，一种容易想到的方法就是设法确定算法在最坏情况下所消耗的时间，然后任何一次解密，如果没有达到最坏时间，都不输出结果。这样做一个是估计最坏时间很麻烦，而且与平台相关，同时也大大降低算法效率。而且即便这种方法能够阻止时间分析攻击，也难以阻止能量分析攻击，因为等待到最坏时间的过程，毕竟跟计算过程不同，因此所消耗的能量也不同。为了防止能量分析攻击，容易想到的方法是对硬件做功率补偿控制，永远让系统消耗恒定功率。这些容易想到的方法成本都很高。
C.RSA blind算法
在解密密文c之前（这个密文c可能是攻击者精心构造出来用来刺探时间信息的密文），我们生成一个均匀分布于[0,n)之间的随机数r（必须是密码学意义上安全的随机数或者伪随机数），对r进行加密并且与c相乘得到变换后的密文s：
s = r^e * c（注意，这里往后的运算还是都要对n取模的）
（这一步很快，因为RSA加密指数e总是很小，因此这一步的速度常常比解密过程快几十倍）
这里要说一句：r是一个[0,n)之间均匀分布的随机变量，可以断言r^e以及s
= r^e * c也都是这样的随机变量，只是三者不是相互独立的。但任何一个单独来看，都仍然是一个密码学意义上安全的随机数。
这个过程涉及到公钥中的加密指数e，由于这个过程中并没有涉及到私钥中的解密指数d，因此不必担心任何信息的泄漏。
然后对s进行解密并且除以r，就可以得到明文m：（别忘了(mod n)运算！）
m = s^d / r
因为s^d / r = (r^e * c)^d / r = r^(e*d) * c^d / r = r * c^d / r = c^d = m
注意，这个过程中，s^d运算与d的值相关，让我们来分析一下是否可能会泄漏d的信息。
密文c可能是攻击者精心构造用来刺探解密指数d的信息的数据，那么攻击者只要建立了解密时间t与密文c之间的关系t=t(c)，就可能以此获取私钥d的信息。
但由于s是一个密码学意义上安全的随机数，那么可以肯定的是，无论攻击者如何精心地构造了c，最终使用d进行解密的都是随机数s，于是攻击者实际上无法建立解密时间t与密文c之间的关系，解密时间t实际上是一个与密文c完全无关的随机变量s相关的时间。最后还有一个除法，这个除法所需要的时间跟r有关，但r也是一个与密文c完全独立的随机变量。
于是在整个过程中，攻击者得不到ti和ci的关系t，因此时间攻击也就无法奏效。
说实话，前面的讨论中我打了一个马虎眼。第一步s = r^e * c过程，所需要的时间与随机数r的值也有关系，因此这一步的时间可能会与随机数r的值相关。但即便这一步的时间被单独测量了，所得到的关于r的信息也是很少的，因为花费同样时间的不同r值太多了（简并度太大:D）。而且最关键的是，r值是每次系统解密的时候重新随机生成的，用过就丢，因此不能通过多次精心设计的刺探过程来积累有关某一次使用过的r值的信息（前提是r确实是一个密码学安全的随机数或者伪随机数），虽然信息可能会泄漏一点点，但无论过多长时间都无法积累到危险的程度。
电子自旋与经典的自转不同。你可以在任何方向上测量电子的自旋。但是无论你选择什么方向，你测量的结果只能是两种，可以用（与该方向相关的）↑和↓来表示。在你不进行测量的时候，电子的自旋可以处于该方向的↑和↓两种状态的“相干叠加态”。
实际上，只有当你选定了一个测量方向，你才能测得电子自旋。在这个方向上，能够测得的两种状态↑和↓被称为“该方向上电子自旋的本征态”。注意，称一个状态为本征态，并不是指这个状态比其他的状态更“基本”。这个本征态之所以是本征态，仅仅是因为你选定了一个方向。所以。实际上在任何一个方向上，电子自旋都有两个本征态。一个方向上所确定的电子自旋的两个本征态，对于另外一个不同方向来说，就变成了·相干叠加态·。
如果你想要同时测量电子自旋在两个相互不同方向上的分量来确定电子“自转轴”的空间指向，在量子力学的理论框架中是绝对做不到的。你只能先在一个方向上测量，然后在另外一个方向上测量。但是如果你先在一个方向上测量，那么测量本身就会迫使电子自旋进入该方向的↑和↓两个状态之一（这通常被称为波函数的坍塌），此时如果你紧接着进行另一个方向的测量，就相当于你把先前的测量结果按照量子相干叠加的方式分解到新方向的↑和↓两个本征态上，你仍然只能测得新方向的两个本征态之一。也就是说，你想要通过测量两个方向电子自旋的方向来确定电子自旋的取向，在量子力学的框架中完全是徒劳的。
至于这个相干叠加态，简称叠加态，跟通常概率统计意义上按概率分布的多种状态是完全不同的。如果我不知道桌子底下的一个硬币是正面还是反面，我可以说这个硬币处于正面和反面的概率分别是多少多少。但这仅仅是因为我不知道硬币的状态，实际上这个硬币当然必定处于正面或者反面两种情况之一，·根本没有·处于正面和反面的某种“叠加态”上。在量子力学中，把这种由于不知道系统所处的状态而导致的多种状态按照概率的分布，叫做“混合态”，而不叫做叠加态。而把叠加态（叠加态包括本征态）叫做“纯态”，叠加态实际上是一个精确的状态，并不是多个不同状态的混合。混合态才是多个纯态按照概率分布的混合。混合态之中，各个纯态的概率之和必须是1。而任何一个纯态则可以在指定了测量方式之后，被唯一地分解到对应该测量方式的若干本征态上去，但是分解之后的各个本征态系数是复数。这些复数的模的平方和必须是1，而它们自身的和并不一定是1。例如电子可以处于(1/√2)↑ + (1/√2)↓或者(1/√2)↑ - (1/√2)↓或者(1/2)i↑ + (√3/2)↓等等。无论是叠加态还是本征态，都是纯态，他们的区别仅仅是你所选择的表达量子态的基底不同造成的，就好像建立坐标系的时候选用的基向量不同一样。实际上基向量和其他向量之间并没有本质的区别，完全可以随意选择。你可以说一个叠加态是若干个本征态的叠加，你也可以把一个本征态表示为某些叠加态的某种叠加。只不过后者由于不代表具体测量值，因而不太方便。
一旦你对量子系统选定了一个（可以实际操作的）测量手段，那么你就确定了一组本征态（相当于向量空间的一组基底）。这时候你对一个量子系统进行测量，你就只能得到这些本征态之一，而且测量操作也将立即迫使系统进入你所测得的本征态。对于一个叠加态，你的测量结果是某个本征态的概率，等于该叠加态在这个本征态上投影系数的模的平方。
principle：原理、原则。
principle 作为原理，往往是指一个理论最基本的假定，有时候也可以叫作基本定律（basic law）。一个理论以原理为基本假设，推导出一些导出结论而构建起来。例如相对论的原理，量子力学的原理，经济学的原理。原理在一个理论中是用来解释和推 导其他内容的，其本身不能在理论内部得到解释。有时候，A理论的一些原理在B理论中可能是导出结论，而B理论的一些原理也可能在A理论中作为导出结论。特 别地，随着理论的发展，往往会出现这种情况：原来以为很基本的原理，在新理论中不再基本；而原来的导出结果，在新理论被认为更加基本而作为原理。
principle 作为原则，往往指一些先入为主的规则。例如，你做人坚决不说谎，而且根本不管这是为什么，反正就是不说谎，丝毫没得商量。这种情况下可以认为不说谎是你做 人的原则。但是这和原理的含义实际上是有差别的，一个东西作为理论的原理，在理论内部是不能得到解释的，这一点跟原则的含义相似。但这不等于这些原理不能 被解释，也不等于这些原理不能被放弃。前面说了在B理论中A理论的部分原理变成了导出结论，那么实际上B理论就对A理论的这些原理给出了解释。当理论和事 实冲突的时候，我们更相信事实，而不是原理。而原则和现实利益相互冲突的时候，一些人会选择坚持原则。有时候盲目坚持原则会带来好处，因为某些你不清楚原 因的原则并不是真的没有原因。但有时候盲目坚持原则会带来恶果，因为你可能不知道这个原则的适用情况而滥用了这个原则。
law：定律（法律这个意思我就不提了）。
law 作为定律，大部分情况应该是指通过对试验数据进行分析而得到的一些经验规律，但是却能够经受广泛严格的试验检验。例如理想气体定律，安培定律，万有引力定 律，能量守恒定律。当一个定律在某个理论框架中得到了解释，在这个理论框架中这个定律就作为一个导出结论而存在。例如，机械能守恒在牛顿理论中作为一个导 出结论。但是，能量守恒（包括机械能守恒）在热力学中变成了原理（基本定律）。现在看来，能量守恒定律是比牛顿运动定律更加基本的规律，因此在后来的理论 中往往也被拿来作为理论的原理。
rule：规律、规则。
rule作为规则，就是指制定出来的必须遵守的一些约定。例如数学推导规则，语法规则，游戏规则，交通规则等。
对 于人制定的规则，既然是人的约定，实际上就存在任意性，例如交通规则的右侧通行或者左侧通行，数学推导中使用什么符号，语法规则中的语序等。虽然有任意 性，但是也不能不做约定，否则就无法解决混乱。但是在若干都能够解决混乱的约定之间做出选择，就是比较随意的事情了。例如，为了解决人和人之间交流思想的 问题，世界上出现了大量不同的语言；为了保证交通秩序，世界上出现了许多不同的交通规则。他们都能够解决特定领域的混乱，相互间往往很难比较孰优孰劣，但 是却互不兼容。
rule作为规律，我猜其最原始的含义应该是“造物主所制定的用于指导宇宙运转的规则”，实际上也是规则。但这个规则不是 人制定的，而这个宇宙事实上却按照这个规则运转。到底是不是造物主制定的我们根本不用关心，但是作为规律，这个词的含义往往是指一个领域所研究的对象所遵 循的·事实·上的关系。例如经济规律，物理规律，化学规律。
有时候如果一个理论经过大量检验后被认为是准确有效的，我们往往也会把这个理 论的各种结论称为规律。但这仅仅是在这个理论的预言与观察结果一致的情况下。如果在某些情况下与事实不一致，那么至少在这些情况下，我们就不能再称之为规 律。如果发现某些事实没有现有理论能够解释，可以称这个地方有我们尚未发现的规律。
